引越当日の迷惑もあるので、できれば前日のうちにご近所へ挨拶にいきましょう。
単なるマナーやエチケットという側面もありますが、旧居に訪ねてきた人へ引越した旨を告げてもらえるということもあるでしょう。貸主に対しては当日鍵を返却する際に挨拶しましょう。

引越直後はなにかと忙しいので、引越前に挨拶の品を用意しておきましょう。
石けんやタオル、お菓子、お茶、洗剤などが定番ですが、迷惑にならないものなら何でもかまいません。
ご近所には500～1000円程度、貸主などがいる場合にはその倍額程度の品を贈るのが一般的です。

よく問題になるのが「どこまでが近所の範囲か？」ということ。一般的に「向こう三軒両隣」といいますが、マンションなどの場合は階上階下の部屋にも挨拶しておいた方がなにかと好都合です。また、庭を接する裏の家がある場合は、そちらにも挨拶をした方が良いのではないでしょうか。 挨拶の内容は、「このたび隣に引っ越してきました△△と申します。どうかよろしくお願いいたします」と簡単な自己紹介と基本的な挨拶でかまいません。